La più bella del mondo

21 Febbraio 2018

La reazione che l’essere umano medio ha davanti ad una formula matematica fa sembrare pacate le urla di Wendy chiusa nel bagno in Shining. Non si pensa mai che la matematica possa essere graziosa, bella, elegante. Eppure al mondo ce ne sono tanti che l’hanno scelta come mestiere: anche loro hanno il diritto di eleggere la più bella equazione di tutti i tempi, la Natalie Portman1 della matematica. Addirittura nel 1988 la rivista inglese The Mathematical Intelligencer creò un sondaggio tra i suoi lettori. Ci furono 68 voti validi (ehi, è pur sempre una rivista di matematica!) e ad aggiudicarsi Miss Equation fu l’identità di Eulero, che si scrive così:

Il professore di Analisi Matematica di chi scrive amava ripetere: “Teorema: se qualcosa è intestato a qualcuno, significa che non è stato lui”. Difatti, nonostante questa formula sia apparsa per la prima volta in un trattato di Eulero nel 1748, è molto probabile che questa conoscenza gli sia stata passata dal matematico svizzero Johann Bernoulli. Inoltre, è attestato che questa formula fosse già nota all’inglese Roger Cotes, che visse nell’epoca appena precedente ad Eulero.
Se facessero un film riguardo a questa formula, il trailer conterrebbe frasi come…

La più notevole formula matematica”
Richard Feynman
, premio Nobel per la Fisica 1965

L’equazione di Eulero raggiunge le profondità dell’esistenza”
Keith Devlin, matematico inglese

“[…] non sappiamo cosa significhi, ma l’abbiamo dimostrata, e perciò sappiamo che deve essere la verità”
Benjamin Peirce, matematico e astronomo statunitense2

Ma voi non disperate se dinnanzi a tale perfezione algebrica la vostra faccia è questa. Rasserenatevi: le Pillole di Scienza di Sinapsi giungono in soccorso! Dato che è la più bella del mondo, avrà sicuramente una certa eleganza, ma soprattutto dovrà pur avere un significato profondo. Altrimenti perché qualcuno si sarebbe preso la briga di dipingerla su una parete qualunque di una gola sperduta in mezzo al Catinaccio d’Antermoia nelle Dolomiti trentine?

“Euler’s identity,” autore ignoto, vernice su dolomite, Catinaccio d’Antermoia (Val di Fassa). [Testimonianza fotografica dell’autore dell’articolo.]

Andare con ordine può aiutare a riordinare le idee. Ingredienti:

e

il numero di Nepero è un numero strano. Può essere definito in diversi modi equivalenti tra loro e vale circa 2,7182818284…3 Eppure è il fulcro dell’elevamento a potenza, compare nei logaritmi, nelle equazioni differenziali, nei tassi di interesse, nei decadimenti radioattivi e in infiniti altri aspetti della Natura. È un numero irrazionale (cioè non può essere scritto come frazione) e trascendente (cioè non può essere soluzione di un’equazione algebrica a coefficienti interi).

i

questa è bella. Trovate un numero reale che elevato al quadrato faccia -1. “Non esiste!” è la risposta corretta4. Ok, ma se volessimo che esista? Lo chiameremo unità immaginaria e il suo simbolo sarà i. Sì, ci stiamo davvero inventando un numero: non ha un valore scrivibile in cifre, ma possiamo sommarlo e moltiplicarlo per i numeri che tutti conosciamo. E questi numeri che contengono i li chiamiamo numeri complessi, come se già quelli normali non lo fossero.

π

dovreste averlo riconosciuto. È il re della geometria, il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro, entra nei calcoli di trigonometria, talvolta nel calcolo integrale e nell’analisi dei numeri complessi di cui sopra. E già che ci siamo gli dedichiamo anche la giornata del 14 marzo, il Pi Day Anche π è un numero irrazionale e trascendente, vale 3,14159265…5.

1

il primo numero naturale positivo, il primo quadrato perfetto, l’elemento neutro della moltiplicazione (cioè tutti i numeri moltiplicati per 1 non cambiano). Tra le altre cose è anche un numero potente, felice, odioso e pratico, e non lo dice mica la Smorfia.

0

il niente, il nulla, a volte amato (se ce ne sono tanti sul conto in banca) e altre odiato (se sul conto in banca è al primo posto). È l’elemento neutro della somma: un numero, sommato a zero, dà sé stesso.

 

Se alla fine di tutta questa spiegazione la nebbia nelle vostre menti non si è ancora diradata, il concetto è più o meno questo:

Prendi un numero strano, che c’entra coi logaritmi, lo elevi alla potenza di un numero che non esiste moltiplicato per un altro numero altrettanto bizzarro che ha a che fare coi cerchi e ottieni un numero negativo, tanto che gli devi sommare 1 perché alla fine ti venga 0.

In poche righe le conoscenze scolastiche accumulate si frantumano sotto il peso di ciò che avete appena letto: esistono le radici quadrate di numeri negativi, si può elevare a potenza con numeri immaginari e queste potenze sono negative. Da un certo punto di vista si può capire il vostro sgomento. Dall’altra parte un matematico la vedrebbe così:

Cinque numeri, tutte costanti essenziali della matematica e della Natura, che sembrano non avere nulla a che fare l’uno con l’altro, sono in realtà uniti tra loro dalle tre operazioni algebriche fondamentali – somma, moltiplicazione ed elevamento a potenza – ognuna delle quali compare una sola volta.

Ha tutto un altro suono messa giù così, vero?
L’obiettivo di questo breve pezzo non è quello di imporre il pensiero che tutta la matematica sia bella6, ma semplicemente quello di far comprendere come in mezzo a lettere e strani simboli ci sia sempre un significato ben preciso. Non fermatevi a imparare a memoria un numero, una formula, un’operazione; per quelle ci sono i libri. Se invece capite il concetto che esse esprimono le dimenticherete molto più difficilmente!

 

Gabriele

 

1 L’autore conferma e non smentisce la sua ammirazione per Natalie Portman.
2 Queste citazioni sono vere.
3 Un modo facile per tenerlo a mente è ripetere “Ai modesti e vanitosi, ai violenti e timorosi do cantando gaio ritmo logaritmo”
4 Ehi, mi raccomando, non vi scordate che (-1)2 = +1.
5 Per molti fisici basta sapere che π sia circa 3, ma se volete imparare un po’ di cifre in più potete sempre recitare “Ave o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza.
6 Ecco a voi la vincitrice del concorso “L’equazione più brutta del mondo”.

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